Question

已知函數(shù)f（x）=x+

x3

3

…+

x2m-1

2m-1

，g（x）=

x2

2

+

x4

4

…+

x2n

2n

，定義域?yàn)镽，m，n∈N^•，h₁（x）=c+f（x）-g（x），h₂（x）=c-f（x）+g（x）
（1）若n=1，m=2，求h₁（x）的單調(diào)區(qū)間；若n=2，m=2，求h₂（x）的最小值．
（2）（文科選做）若m=n，c=0時(shí)，令T（n）=h₂（1），求T（n）的最大值．
    （理科選做）若m=n，c=0時(shí)，令T（n）=h₁（1），求證：T（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．
（3）若m=n+1，c=1時(shí)，F(xiàn)（x）=h₁（x+3）h₂（x-2）且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，求b-a的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1，m=2時(shí)，分別寫出f（x）=x+

x3

3

，g（x）=

x2

2

，h₁（x）=c+x-

x2

2

+

x3

3

，再利用導(dǎo)數(shù)求h₁（x）的單調(diào)區(qū)間及h₂（x）的最小值；
（2）文科：當(dāng)m=n，c=0時(shí)，T（n）=h₂（1）=-1+

1

2

-

1

3

+…-

1

2n-1

+

1

2n

．再研究其單調(diào)性即可得出T（n）最大值；
理科：m=n，c=0，T（n）=h₁（1）=1-

1

2

+

1

3

+…

1

2n-1

-

1

2n

．下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．
（3）當(dāng)m=n+1，c=1時(shí)，h₁（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-…-

x2n

2n

+

x2n+1

2n+1

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而得到h₁（x）在R上唯一零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0）上，于是h₁（x+2）的唯一零點(diǎn)在區(qū)間（-3，-2）上．同理可得，h₂（x）在R上唯一零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）上，于是h₂（x-2）的唯一零點(diǎn)在區(qū)間（3，4）上．最后求出b-a的最小值．

解答：解：（1）n=1，m=2，f（x）=x+

x3

3

，g（x）=

x2

2

，h₁（x）=c+x-

x2

2

+

x3

3

，
h'（x）=1-x+x²＞0，所以h₁（x）在R上單調(diào)增；         （2分）
n=2，m=2，f（x）=x+

x3

3

，g（x）=

x2

2

+

x4

4

，h₂（x）=c-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

，
h₂'（x）=-1+x-x²+x³=（x-1）（1+x²），
當(dāng)x＜1時(shí)，h₂'（x）＜0，h₂'（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，h₂'（x）＞0，h₂'（x）單調(diào)遞增；
故x=1時(shí)，h₂'（x）最小值為c-

7

12

．                    （5分）
（2）文科：m=n，c=0，
T（n）=h₂（1）=-1+

1

2

-

1

3

+…-

1

2n-1

+

1

2n

．
T（n+1）=h₂（1）=-1+

1

2

-

1

3

+…-

1

2n-1

+

1

2n

-

1

2n+1

+

1

2n+2

．
知T（n+1）＜T（n），故n=1時(shí)，T（n）最大為-

1

2

．
理科：m=n，c=0，T（n）=h₁（1）=1-

1

2

+

1

3

+…

1

2n-1

-

1

2n

．
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊T（1）=1-

1

2

=

1

2

，右邊=

1

2

；成立
②假設(shè)n=k時(shí)成立，則有
T（k）=1-

1

2

+

1

3

+…

1

2k-1

-

1

2k

．
T（k+1）=1-

1

2

+

1

3

+…

1

2k-1

-

1

2k

+

1

2k+1

-

1

2k+2

=T（k）+

1

2k+1

-

1

2k+2

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

-

1

2

•

1

k+1

=

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

．
故當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．
綜上所述，等式成立．                                           （11分）
（3）m=n+1，c=1，h₁（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-…-

x2n

2n

+

x2n+1

2n+1

，（13分）
h

′ 1

（x）=1-x+x²-…-x^2n-1+x²ⁿ，
=

1+x2n+1 1+x ，x≠-1 2n+1，x=-1

，
當(dāng)x≥0時(shí)，h

′ 1

（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h

′ 1

（x）＞0；當(dāng)x＜-1時(shí)，h

′ 1

（x）＞0，故函數(shù)h

′ 1

（x）為R上的增函數(shù)，于是函數(shù)f（x）在R上最多只有一個(gè)零點(diǎn)．因h₁（0）=1＞0，h₁（-1）=（1-1）+（-

1

2

+

1

3

）+…+（-

1

2n

+

1

2n+1

）＜0，故h₁（0）h₁（-1）＜0，
因而h₁（x）在R上唯一零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0）上，（15分）
于是h₁（x+2）的唯一零點(diǎn)在區(qū)間（-3，-2）上．
同理可得，函數(shù)h₂（x）為R上的減函數(shù)，于是函數(shù)h₂（x）在R上最多只有一個(gè)零點(diǎn)．
又h₂（1）=（1-1）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2n

-

1

2n+1

）＞0，
h₂（2）=（1-2）+2²（

1

2

-

2

3

）+2⁴（

1

4

-

2

5

）+…+2²ⁿ（

1

2n

-

2

2n+1

）＜0，于是h₂（1）h₂（2）＜0，因而h₂（x）在R上唯一零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）上，于是h₂（x-2）的唯一零點(diǎn)在區(qū)間（3，4）上．
所以，F(xiàn)（x）的兩零點(diǎn)落在區(qū)間[-3，4]上，b-a的最小值為7．       （18分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)的判定定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．