Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+alnx，其中a∈R，
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值，
（Ⅱ）在（1）的結(jié)論下，若關(guān)于x的不等式f（x+1）＞

x2+(t+2)x+t+2

x2+3x+2

（t∈N^*），當(dāng)x≥1時(shí)恒成立，求t的值；
（Ⅲ）令g（x）=x-f（x），若關(guān)于x的方程g（x）+g（3-x）=0在（0，1）內(nèi)至少有兩個(gè)解，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0，即可求實(shí)數(shù)a的值，
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x+1）＞

x2+(t+2)x+t+2

x2+3x+2

，整理得t＜（x+2）ln（x+1）-x，求出右邊的最小值，即可求t的值；
（Ⅲ）令t=x（3-x）∈（0，2），構(gòu)造函數(shù)F（t）=3-

3

t

-alnt，即方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在區(qū)間（0，2）上至少有兩個(gè)解，F(xiàn)（1）=0，可得方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在區(qū)間（0，1）∪（1，2）上有解，分類討論，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

x

+alnx，
∴f′（x）=

ax-1

x2

，
當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0，解得a=1，
經(jīng)驗(yàn)證a=1滿足條件，…（3分）
（II）當(dāng)a=1時(shí)，f（x+1）＞

x2+(t+2)x+t+2

x2+3x+2

整理得t＜（x+2）ln（x+1）-x
令h（x）=（x+2）ln（x+1）-x，
則h′（x）=

1

x+1

+ln（x+1）（x≥1）…（5分）
∴h（x）_min=3ln2-1，即t＜3ln2-1∈（0，2）…（7分）
∴t=1…．（8分）
（III）g（x）+g（3-x）=3-

3

x(3-x)

-aln[x（3-x）]
令t=x（3-x）∈（0，2），構(gòu)造函數(shù)F（t）=3-

3

t

-alnt
即方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在區(qū)間（0，2）上至少有兩個(gè)解
又F（1）=0，
∴方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在區(qū)間（0，1）∪（1，2）上有解　…（10分）
F′（t）=

3-at

t2

當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（t）＞0，即函數(shù)y=F（t）在（0，2）上是增函數(shù)，且F（1）=0，
∴此時(shí)方程在區(qū)間（0，1）∪（1，2）上無解；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，F(xiàn)′（t）＞0，同上方程無解；
當(dāng)1＜a＜3時(shí)，函數(shù)F（t）在（0，

3

a

）上遞增，在（

3

a

，2）上遞減，且

3

a

＞1，
要使方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在區(qū)間（0，1）∪（1，2）上有解，則F（2）=0，
即

3

2

-aln2＜0，
∴a＞

3

ln4

，
∴

3

ln4

＜a＜3；
當(dāng)a＞3時(shí)，函數(shù)F（t）在（0，

3

a

）上遞增，在（

3

a

，2）上遞減，且

3

a

＜1，
此時(shí)方程F（t）=0在（0，

3

a

）內(nèi)必有解，
當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)F（t）在（0，1）上遞增，在（1，2）上遞減，且F（1）=0
∴方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在區(qū)間（0，1）∪（1，2）上無解．
綜上，實(shí)數(shù)a的范圍是（

3

ln4

，3）∪（3，+∞）    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．