Question

6．在平面直角坐標系xOy中，曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）上的兩點A，B對應的參數(shù)分別為α，α+$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求AB中點M的軌跡的普通方程；
（Ⅱ）求點（1，1）到直線AB距離的最大值．

Answer 1

分析 （I）A（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），B（-$\sqrt{2}$sinα，$\sqrt{2}$cosα）．設(shè)M（x，y），則x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-sinα+cosα），y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）．平方相加即可得出．
（II）k_AB=$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}$，利用點斜式可得：（sinα-cosα）x-（sinα+cosα）y+$\sqrt{2}$=0．利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：（I）A（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），B（-$\sqrt{2}$sinα，$\sqrt{2}$cosα）．設(shè)M（x，y），則x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-sinα+cosα），y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）．
∴AB中點M的軌跡的普通方程為：x²+y²=1．
（II）k_AB=$\frac{\sqrt{2}cosα-\sqrt{2}sinα}{-\sqrt{2}sinα-\sqrt{2}cosα}$=$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}$，
∴y-$\sqrt{2}$sinα=$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}$（x-$\sqrt{2}$cosα），化為：（sinα-cosα）x-（sinα+cosα）y+$\sqrt{2}$=0．
∴點（1，1）到直線AB距離=$\frac{|sinα-cosα-sinα-cosα+\sqrt{2}|}{\sqrt{（sinα-cosα）^{2}+（sinα+cosα）^{2}}}$=|$\sqrt{2}$cosα-1|≤$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查了圓的參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．