(文科)已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∈∁RQ
,下面結論中,所有正確結論的序號是
 

①f(f(x))=1
②函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
③任取一個不為0的有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對x∈R恒成立
④存在三個點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))使得△ABC為等邊三角形.
考點:命題的真假判斷與應用
專題:簡易邏輯
分析:根據(jù)函數(shù)的對應法則,可得不管x是有理數(shù)還是無理數(shù),均有f(f(x))=1;
根據(jù)函數(shù)圖象的特點,可得f(x)是偶函數(shù);
根據(jù)函數(shù)的表達式,結合有理數(shù)和無理數(shù)的性質,得③正確;
取x1=-
3
3
,x2=0,x3=
3
3
,可得A(-
3
3
,0)、B(0,1)、C(
3
3
,0)三點恰好構成等邊三角形,得④正確.
解答: 解:函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∈RQ
,
①當x∈Q時,f(f(x))=f(1)=1.
當x∈∁RQ時,f(f(x))=f(0)=1.①正確;
②∵f(x)=
1,x∈Q
0,x∈RQ
的圖象關于y軸對稱,函數(shù)f(x)是偶函數(shù).②正確;
③∵有理數(shù)與有理數(shù)的和為有理數(shù),有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù),
∴任取一個不為0的有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對x∈R恒成立.③正確;
④取x1=-
3
3
,x2=0,x3=
3
3
,可得A(-
3
3
,0)、B(0,1)、C(
3
3
,0)三點恰好構成等邊三角形.④正確.
故答案為:①②③④.
點評:本題給出特殊函數(shù)表達式,求函數(shù)的值并討論它的奇偶性,著重考查了有理數(shù)、無理數(shù)的性質和函數(shù)的奇偶性等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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設函數(shù)f(x)=x+
1
x-2
,g(x)=x2-
1
x-2
,則f(x)+g(x)=
 

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7
海里,20分鐘后測得海盜船距觀測站20海里,再過
 
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,則z=3x+y的最大值為
 

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1
b
 
b+
1
a
(用“>”,“<”,“=”填空)

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a
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A、-76B、76C、46D、13

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同步練習冊答案
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