Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x2+bx+c(x≤0) 2(x＞0)

，其中b＞0，c∈R．當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值-2．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若方程f（x）=x+a（a∈R）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值的集合．

Answer 1

分析：（1）由題意，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值-2，即為二次函數(shù)當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值-2，從而利用二次函數(shù)求最值的方法可求；
（2）由題意，方程可化為x²+3x+2-a=0，要使方程有兩不等實(shí)根，則判別式=9-4（2-a）＞0，解不等式可求．

解答：解：（1）由于二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-

b

2

此時(shí)有最小值
即-

b

2

=-2，f(-2)=4-2b+c=-2
解得b=4，c=2
所以f（x）=

x2+4x+2，  x≤0 2，  x＞0

，
（2）由題意，方程可化為x²+3x+2-a=0
要使方程有兩不等實(shí)根，則判別式=9-4（2-a）＞0
解得a＞-

1

4

∴a取值范圍的集合為{a|a＞-

1

4

}

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，主要考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程根的問(wèn)題．