(2009•青浦區(qū)二模)(理)已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點.
(1)設過點A且斜率為-1的直線l1,與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P(4,4),求直線AB的斜率;
(2)問題(1)的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素:已知圓錐曲線Γ,過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點;結論是關于直線AB的斜率的值.請你對問題(1)作適當推廣,并給予解答;
(3)若線段AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點Q(x0,0).若x0=5,試用線段AB中點的縱坐標表示線段AB的長度,并求出中點的縱坐標的取值范圍.
分析:(1)由直線與拋物線聯(lián)立方程組解得A(16,-8),B(0,0),由點斜式寫出兩條直線l1、l2的方程,從而得出直線AB的斜率;
(2)推廣的評分要求分三層:
一層:點P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般,例子:1、已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點.設過點A且斜率為-1的直線l1,與過點B且斜率為1的直線l2相交于拋物線y2=4x上的一定點P(
t2
4
,t)
,求直線AB的斜率等等;
二層:兩個一般或推廣到其它曲線;
三層:滿分(對拋物線,橢圓,雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法)
(3)點Q(x0,0),設A(x1,y1),B(x2,y2),則yi2=4xi(i=1,2).設線段AB的中點是M(xm,ym),斜率為k,寫出線段AB的垂直平分線l的方程,又點Q(5,0)在直線l上,求出xm=3.最后利用0<ym2<4xm=12,即可求出中點的縱坐標的取值范圍.
解答:解:(理)(1)由
x+y-8=0
y2=4x.
解得A(16,-8);由
x+y=0
y2=4x.
解得B(0,0).
由點斜式寫出兩條直線l1、l2的方程,l1:x+y-8=0;l2:x-y=0,所以直線AB的斜率為-
1
2
. …(4分)
(2)推廣的評分要求分三層
一層:點P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般((3分),問題(1分)、解答2分)
例:1、已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點.設過點A且斜率為-1的直線l1,與過點B且斜率為1的直線l2相交于拋物線
y2=4x上的一定點P(
t2
4
,t)
,求直線AB的斜率;
2、已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點.設過點A且斜率為-k 1的直線l1,與過點B且斜率為k的直線l2相交于拋物線
y2=4x上的一點P(4,4),求直線AB的斜率;
3、已知A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的相異兩點.設過點A且斜率為-1的直線l1,與過點B且斜率為1的直線l2相交于拋物線y2=2px(p>0)上的一定點P(
t2
2p
,t)
,求直線AB的斜率; AB的斜率的值.
二層:兩個一般或推廣到其它曲線((4分),問題與解答各占2分)
例:4.已知點Ρ是拋物線y2=4x上的定點.過點P作斜率分別為k、-k的兩條直線l1、l2,分別交拋物線于A、B兩點,試計算直線AB的斜率.
三層:滿分(對拋物線,橢圓,雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法.)((7分),問題(3分)、解答4分)
例如:5.已知拋物線y2=2px上有一定點P,過點P作斜率分別為k、-k的兩條直線l1、l2,分別交拋物線于A、B兩點,試計算直線AB的斜率.
過點P(x0,y0),斜率互為相反數(shù)的直線可設為y=k(x-x0)+y0,y=k(x-x0)+y0,其中y02=2px0
y=k(x-x0)+y0
y2=2px
得ky2-2py+2py0-ky02=0,所以A(
(
2p
k
-y0)
2
2p
,
2p
k
-y0)

同理,把上式中k換成-k得B(
(
2p
k
+y0)
2
2p
,-
2p
k
-y0)
,所以
當P為原點時直線AB的斜率不存在,當P不為原點時直線AB的斜率為-
p
y0

(3)點Q(x0,0),設A(x1,y1),B(x2,y2),則yi2=4xi(i=1,2).
設線段AB的中點是M(xm,ym),斜率為k,則k=
y2-y1
x2-x1
=
4
y1+y2
=
2
ym
.(12分)
所以線段AB的垂直平分線l的方程為y-ym=-
ym
2
(x-xm)
,
又點Q(5,0)在直線l上,所以-ym=-
ym
2
(5-xm)
,
而ym≠0,于是xm=3.                  …(13分)
(斜率kMQ=
ym-0
xm-5
,AB⊥MQ
2
ym
=-
xm-5
ym
,則xm=3  (13分)
線段AB所在直線的方程為y-ym=
2
ym
(x-3)
,…(14分)
代入y2=4x,整理得4x2-24x+ym4-12ym2+36=0…(15分)x1+x2=6,x1x2=
ym4-12ym2+36
4

設AB線段長為l,則l2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+
4
ym2
)[(x1+x2)2-4x1x2]

=(4+ym2)(-ym2+12)=-ym4+8ym2+48…(16分)
因為0<ym2<4xm=12,所以
y
 
m
∈(-2
3
, 0)∪(0, 2
3
)
…(18分)
即:l=
-
y
4
m
+8
y
2
m
+48
.(-2
3
ym<2
3
).
點評:本小題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•青浦區(qū)二模)直線
3
 x-y+1=0
的傾斜角為
π
3
π
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•青浦區(qū)二模)(文)如果某音叉發(fā)出的聲波可以用函數(shù)f(t)=0.001sin400πt描述,那么音叉聲波的頻率是
200
200
赫茲.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•青浦區(qū)二模)(理)已知數(shù)列{an},對于任意的正整數(shù)n,an=
1  (1≤n≤2009)
-2•(
1
3
)n-2009 (n≥2010)
,設Sn表示數(shù)列{an}的前n項和.下列關于
lim
n→+∞
Sn
的結論,正確的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•青浦區(qū)二模)已知全集U=R,集合M={x|x2-4x-5>0},N={x|x≥1},則M∩(CUN)=
{x|x<-1}
{x|x<-1}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•青浦區(qū)二模)若復數(shù)z滿足z=
3+i
i
,則|
.
 z 
|
=
10
10

查看答案和解析>>

同步練習冊答案