(本題滿分12分)
如圖,橢圓長軸端點為,為橢圓中心,為橢圓的右焦點,
,.

(1)求橢圓的標準方程;
(2)記橢圓的上頂點為,直線交橢圓于兩點,問:是否存在直線,使點恰為的垂心?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
(1); (2)3x-3y-4=0

試題分析:(1)設(shè)橢圓方程為,則
又∵,∴  
故橢圓方程為
(2)假設(shè)存在直線交橢圓于兩點,且恰為的垂心,則
設(shè),∵,故,
于是設(shè)直線,由
    

 即
 由韋達定理得
 
解得(舍) 經(jīng)檢驗符合條件
點評:橢圓的概念和性質(zhì),仍將是今后命題的熱點,利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題,其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點;與其它知識的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個新的重點、熱點
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的焦距為2,且過點.
求橢圓的方程;
若點分別是橢圓的左、右頂點,直線經(jīng)過點且垂直于軸,點是橢圓上異于,的任意一點,直線于點

(。┰O(shè)直線的斜率為直線的斜率為,求證:為定值;
(ⅱ)設(shè)過點垂直于的直線為.求證:直線過定點,并求出定點的坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分13分)已知橢圓的左焦點的坐標為是它的右焦點,點是橢圓上一點, 的周長等于
(1)求橢圓的方程;
(2)過定點作直線與橢圓交于不同的兩點,且(其中為坐標原點),求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分,(Ⅰ)小問3分,(Ⅱ)小問9分.)
直線稱為橢圓的“特征直線”,若橢圓的離心率.(1)求橢圓的“特征直線”方程;
(2)過橢圓C上一點作圓的切線,切點為P、Q,直線PQ與橢圓的“特征直線”相交于點E、F,O為坐標原點,若取值范圍恰為,求橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若直線y=x+k與曲線x=恰有一個公共點,則k的取值范圍是___________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標系中,的兩個頂點的坐標分別是(-1,0),(1,0),點的重心,軸上一點滿足,且.
(1)求的頂點的軌跡的方程;
(2)不過點的直線與軌跡交于不同的兩點、,當時,求的關(guān)系,并證明直線過定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓與雙曲線有相同的焦點,若的等比中項,的等差中項,則橢圓的離心率是(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分)設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點,O為坐標原點.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交A,B且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

過雙曲線的左焦點作斜率為1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為A、B,若,則雙曲線的漸近線方程為(  )
A.                 B.
C.                D.

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