過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F的一條直線與它交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且直線AB的傾斜角為α,則以下正確的有:
 

(1)y1y2=-p2,x1x2=
p2
4
;
(2)|AB|=x1+x2+p;
(3)S△AOB=
sin2α
;
(4)|AF|=
p
1-cosα

(5)
1
|AF|
+
1
|BF|
=
2
p

(6)|BF|=
p
1+cosα
;
(7)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相交.
考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用,拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題:閱讀型,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設(shè)AB:x=
p
2
或y=k(x-
p
2
),聯(lián)立拋物線方程,由韋達(dá)定理,即可得到;
(2)由拋物線的定義可得;
由拋物線的定義可得BF=BD=p+BFcosα,則|BF|=
P
1-cosα
,同理可得|AF|=
p
1+cosα
,可判斷(4)、(5)、(6);
(3)S△AOB=
1
2
×
p
2
×(BFsinα+AFsinα),代入AF,BF即可得到;
(7)由于AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于AC與BD的和的一半,由拋物線的定義,即可判斷.
解答: 解:(1)設(shè)AB:x=
p
2
或y=k(x-
p
2
),若x=
p
2
,
則y2=p2,y1y2=-p2,x1x2=
p2
4
,
由y=k(x-
p
2
)和拋物線方程,得到k2x2-(kp+2p)x+
k2p2
4
=0,
則x1x2=
p2
4
,y1y2=-
4p2
p2
4
=-p2.故(1)對(duì);
(2)由拋物線的定義可得,|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,故(2)對(duì);
(3)S△AOB=
1
2
×
p
2
×(BFsinα+AFsinα)=
psinα
4
P
1-cosα
+
p
1+cosα
)=
2p
sin2α
psinα
4
=
p2
2sinα
,故(3)錯(cuò);
由拋物線的定義可得BF=BD=p+BFcosα,
則|BF|=
P
1-cosα
,同理可得|AF|=
p
1+cosα
,故(4)、(6)不正確;
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1-cosα
p
+
1+cosα
p
=
2
p
,故(5)對(duì);
(7)由于AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于AC與BD的和的一半,由拋物線的定義,即為AB的一半,故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.故(7)錯(cuò).
故答案為:(1)(2)(5).
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì),考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理求解,考查平面幾何知識(shí),屬于中檔題.
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y
x
的取值范圍為( 。
A、[12,+∞)
B、[0,3]
C、[1-
2
,1+
2
]
D、(-∞,1-
2
]∪[1+
2
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