Question

已知m∈R，函數(shù)f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
（Ⅰ）當m＜2時，求函數(shù)f（x）的極大值；
（Ⅱ）當m=0時，求證：f（x）≥x²+x³．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先對函數(shù)f（x）求導數(shù)，并分解因式，然后分別令f'（x）＞0，f'（x）＜0求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意條件m＜2，-m＞-2，從而判斷出函數(shù)的極大值；
（Ⅱ）當m=0時，f（x）=x²•e^x，要證f（x）≥x²+x³，即證e^x≥1+x，構造函數(shù)g（x）=e^x-1-x，通過導數(shù)求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)g（x）的極小值也為最小值0，從而g（x）≥0，原不等式成立．

解答：（Ⅰ）解：因為函數(shù)f（x）=（x²+mx+m）•e^x
所以導數(shù)f'（x）=（2x+m）•e^x+（x²+mx+m）•e^x=[x²+（2+m）x+2m]•e^x
=（x+2）（x+m）•e^x，
因為m＜2，所以-m＞-2，令f'（x）＞0得x＞-m，或x＜-2；f'（x）＜0得-2＜x＜-m．
所以函數(shù)f（x）在x=-2處取得極大值，且為f（-2）=（4-2m+m）•e^-2=（4-m）•e^-2．
故當m＜2時，函數(shù)f（x）的極大值為（4-m）•e^-2．------6分
（Ⅱ）證明：當m=0時，f（x）=x²e^x，
要證f（x）≥x²+x³?e^x≥1+x，
令g（x）=e^x-1-x，則導數(shù)g‘（x）=e^x-1，
令g’（x）＞0得x＞0；g‘（x）＜0得x＜0；
所以g（x）在x=0處取得極小值且為0，此時g（x）也取得最小值0，
即g（x）≥0⇒e^x≥1+x，從而f（x）≥x²+x³．
故當m=0時，f（x）≥x²+x³恒成立．-------12分

點評：本題主要考查導數(shù)的應用：求函數(shù)的極值和最值．注意運用這個結論：函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值，這個也就是最值．同時注意構造函數(shù)證明不等式．本題屬于中檔題．