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12.已知點(diǎn)A為橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)的左頂點(diǎn),B,C兩點(diǎn)在橢圓E上,若四邊形OABC為平行四邊形,O為坐標(biāo)系原點(diǎn),∠OAB=30°,則橢圓E的離心率為( �。�
A.223B.22C.12D.24

分析 如圖所示,四邊形OABC為平行四邊形,∠OAB=30°,直線OC的方程為:y=33x,聯(lián)立{y=33xx2a2+y22=1,解得:xC.同理聯(lián)立{y=33x+ax2a2+y22=1,解得xB.根據(jù)|OA|=|CB|=a,即xC-xB=a化簡(jiǎn)即可得出.

解答 解:如圖所示,四邊形OABC為平行四邊形,∠OAB=30°,
∴直線OC的方程為:y=33x,
聯(lián)立{y=33xx2a2+y22=1,解得:xC=3aba2+32
同理聯(lián)立{y=33x+ax2a2+y22=1,化為:(a2+3b2)x2+2a3x+a4-3a2b2=0.
解得xB=a2a3a2+32=3a2a3a2+32
∵|OA|=|CB|=a,
3aba2+32-3a2a3a2+32=a.
化為:a=3b.
∴橢圓的離心率e=ca=12a2=223
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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