Question

（本小題滿分12分）已知，其中是自然常數(shù)，

（1）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；

（2）求證：在（1）的條件下，;

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增 ，的極小值為 ；

（2） ；（3）存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3. 

【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．導(dǎo)數(shù)一般應(yīng)用在求切線的斜率極其方程，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值，和求在某個(gè)區(qū)間上的最值問題上．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，須重視。

（1）把a(bǔ)=1代入原函數(shù)，求出其導(dǎo)函數(shù)，即可求f（x）的單調(diào)性、極值；

（2）的極小值為1，即在上的最小值為1，即... .（5分）

令，判定單調(diào)性得到證明。

（3）先求出其導(dǎo)函數(shù)，通過分類討論分別求出導(dǎo)數(shù)為0的根，以及單調(diào)性和極值，再與f（x）的最小值是3相結(jié)合，即可得出結(jié)論．

解：（1），   ………………..………....（1分）

∴當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增    …………………………....（3分）

∴的極小值為                         ……………….……....（4分）

（2）的極小值為1，即在上的最小值為1，即... .（5分）

令，，  …………………………………………....（6分）

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增  …………………………...（7分）

∴ 

∴在（1）的條件下，           ………………………….……....（8分）

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使（）有最小值3，

                      …………………………………....（9分）

① 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時(shí)無最小值.             ……………………………………….……....（10分）

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，，滿足條件.  ……………………………....（11分）

③ 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時(shí)無最小值.綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3. 

                        ……………………………………………………………....（12分）