Question

【題目】已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，試判斷方程是否有實(shí)數(shù)解，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值

（2）或

（3）無(wú)實(shí)根，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的極值；

（2）函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)等價(jià)于或在區(qū)間上恒成立，再利用分離變量最值法即可得解；

（3）當(dāng)時(shí)，可變形為，再左右分別構(gòu)造函數(shù)求最值即可得解.

解：（1）當(dāng)時(shí)，

，則，

當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

即函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，

即函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值；

（2）由函數(shù)，

則，

由函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，

則或在區(qū)間上恒成立，

即或在區(qū)間上恒成立，

設(shè)，，則，

當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)在為減函數(shù)，

則，

即或，

即或，

故的取值范圍為或；

（3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解

理由如下：

當(dāng)時(shí)，，

則即為，

令，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，

即，

即，

令，

則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，

即，

則，

即無(wú)實(shí)數(shù)解，

故當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.