Question

4．設函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c的導數(shù)f'（x）滿足f'（-1）=0，f'（2）=9．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求c的值．
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有三個交點，求c的范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)條件建立方程組關系求出a，b的值，結合函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系即可求f（x）的單調區(qū)間；
（2）求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值，建立方程關系即可求c的值．
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有三個交點，則等價為函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，解不等式即可求c的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的導數(shù)f′（x）=-3x²+2ax+b，
∵f'（x）滿足f'（-1）=0，f'（2）=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3-2a+b=0}\\{-12+4a+b=9}\end{array}\right.$得a=3，b=9，
則f（x）=-x³+3x²+9x+c，f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x²-2x-3），
由f′（x）＞0得-3（x²-2x-3）＞0得x²-2x-3＜0，得-1＜x＜3，
此時函數(shù)單調遞增，即遞增區(qū)間為（-1，3），
由f′（x）＜0得-3（x²-2x-3）＜0得x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
此時函數(shù)單調遞減，即遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）；
（2）由（1）知，當x=-1時，函數(shù)取得極小值f（-1）=1+3-9+c=c-5，
f（-2）=8+12-18+c=2+c，f（2）=-8+12+18+c=22+c，
則f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為f（2）=22+c=20，
則c=-2．
（3）由（1）知當x=-1時，函數(shù)取得極小值f（-1）=1+3-9+c=c-5，
當x=3時，函數(shù)取得極大值f（3）=-27+27+27+c=27+c，
若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有三個交點，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=c-5＜0}\\{f（3）=27+c＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{c＜5}\\{c＞-27}\end{array}\right.$，得-27＜c＜5，
即c的范圍是（-27，5）．

點評 本題主要考查導數(shù)的綜合應用，求函數(shù)的導數(shù)，建立方程或不等式進行求解是解決本題的關鍵．考查學生的運算能力．