Question

設(shè)是定義在的可導(dǎo)函數(shù)，且不恒為0，記．若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)，總有，則稱為“階負(fù)函數(shù)”；若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)，總有，

則稱為“階不減函數(shù)”（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）．

（1）若既是“1階負(fù)函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）對(duì)任給的“2階不減函數(shù)”，如果存在常數(shù)，使得恒成立，試判斷是否為“2階負(fù)函數(shù)”？并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用在上單調(diào)遞增，借助求導(dǎo)的方法進(jìn)行探究；（2）通過(guò)反證法進(jìn)行證明.本

題關(guān)鍵在于判斷 在時(shí)無(wú)上界，再用單調(diào)性即可證出結(jié)論．

試題解析：（1）依題意，在上單調(diào)遞增，

故 恒成立，得，                          2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000340391402577/SYS201309200034593431450844_DA.files/image009.png">，所以．                                               4分

而當(dāng)時(shí)，顯然在恒成立，

所以．                                                          6分

（2）①先證：

若不存在正實(shí)數(shù)，使得，則恒成立．                8分

假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，使得，則有，

由題意，當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，

故必存在，使得（其中為任意常數(shù)），

這與恒成立（即有上界）矛盾，故假設(shè)不成立，

所以當(dāng)時(shí)，，即；                             13分

②再證無(wú)解：

假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，使得，

則對(duì)于任意，有，即有，

這與①矛盾，故假設(shè)不成立，

所以無(wú)解，

綜上得，即，

故所有滿足題設(shè)的都是“2階負(fù)函數(shù)”．                      16分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.新定義問(wèn)題；3.反證法.