Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ-1．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）證明：數(shù)列{$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺²，兩邊同除以2ⁿ⁺¹，由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（3）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-1=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1；
上式對(duì)n=1也成立．
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1；
（2）證明：b_n+1-2b_n=8a_n=8•2^n-1=2ⁿ⁺²，
兩邊同除以2ⁿ⁺¹，可得
$\frac{_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=2，
可得數(shù)列{$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)為$\frac{_{1}}{2}$=1，公差為2的等差數(shù)列；
即有$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
則{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=（2n-1）•2ⁿ；
（3）{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
可得2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，考查構(gòu)造數(shù)列法，求通項(xiàng)公式的方法，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．