Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=-1，當(dāng)n≥3，n∈N^*時(shí)，．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在k∈N^*，使得n≥k時(shí)，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在x軸上是否存在定點(diǎn)A，使得三點(diǎn)、、（其中n、m、k是互不相等的正整數(shù)且n＞m＞k≥2）到定點(diǎn)A的距離相等？若存在，求出點(diǎn)A及正整數(shù)n、m、k；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）構(gòu)造新數(shù)列，利用疊加法，即可確定數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求和，進(jìn)而將不等式等價(jià)變形，利用不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]恒成立，可得不等式組，從而可得結(jié)論；
（3）由題意，三點(diǎn)滿足方程y=2^x+5，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)n＞m＞k≥2時(shí)，0＜＜，從而對(duì)應(yīng)垂直平分線的斜率k₁＜k₂＜0，故對(duì)應(yīng)垂直平分線不可能相交于x軸，由此可得結(jié)論．
解答：解：（1）n≥3，n∈N^*時(shí)，設(shè)，則=
∴b_n=b₃+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）=b₃+3（-）
∵，∴
∵a₂=-1，∴=
∴b_n=+3（-）=（n≥3）
∴a_n=2n-5（n≥3）
n=2時(shí)，滿足上式；n=1時(shí)，不滿足上式
∴；
（2）S_n=
當(dāng)n=1時(shí)，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4可化為λ≥，不滿足條件；
當(dāng)n≥2時(shí)，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4可化為2（2n-1）λ+n²-6n+5≥0
令f（λ）=2（2n-1）λ+n²-6n+5，則f（λ）≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]恒成立
∴，∴，∴n≤1或n≥5
∴滿足條件的k的最小值為5；
（3）由題意，三點(diǎn)滿足方程y=2^x+5，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)n＞m＞k≥2時(shí)，0＜＜
∴對(duì)應(yīng)垂直平分線的斜率k₁＜k₂＜0
∴對(duì)應(yīng)垂直平分線不可能相交于x軸
∴x軸上不存在定點(diǎn)A，使得三點(diǎn)、、（其中n、m、k是互不相等的正整數(shù)且n＞m＞k≥2）到定點(diǎn)A的距離相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項(xiàng)的確定，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．