已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．
（1）∵以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
∴2a+2c=4+2
3
，
3
2
a=c，
∴a=2，c=
3

∴b=
a2-c2
=1
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB不被點Q平分；
當(dāng)直線l的斜率為k時，l：y-
1
2
=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（1+4k2）x2-4k（2k-1）x+（1-2k）2-4=0
∵過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，
∴
4k(2k-1)
1+4k2
=2，
∴解得k=-
1
2
．
∵
1
4
+
1
4
＜1
∴點Q在橢圓內(nèi)
∴直線l：y-
1
2
=-
1
2
（x-1），即l：y=-
1
2
x+1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點，若以坐標(biāo)原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，且△PF1F2的周長為4+2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l是圓O：x2+y2=
4
3
上動點P（x0，y0）（x0-y0≠0）處的切線，l與橢圓C交于不同的兩點Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，橢圓的短軸端點與雙曲線
y2
2
-x2=1的焦點重合，過P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•崇明縣二模）已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點，若以坐標(biāo)原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，且△PF1F2的周長為4+2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l是圓O：x2+y2=
4
3
上動點P（x0，y0）（x0-y0≠0）處的切線，l與橢圓C交于不同的兩點Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案