Question

某班數學課隨堂測試時，老師共給出四道題，某學生能正確解答第一、二、三、四道題的概率分別為

4

5

、

3

5

、

2

5

，

1

5

，且各題能否準確解答互不影響．
（Ⅰ）求該學生四道題中只有一道題不能正確解答的概率；
（Ⅱ）設該學生四道題中能正確解答的題數記為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用相互獨立事件的概率乘法公式能求出該學生四道題中只有一道不能正確解答的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出隨機變量ξ的分布列與數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）記“該學生能正確解答第i道題”的事件為A_i（i=1，2，3，4），
則P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

，P（A₄）=

1

5

，
∴該學生四道題中只有一道不能正確解答的概率為：
P=P（

.

A1

A2A3A4）+P（A1

.

A2

A3A4）+P（A1A2

.

A3

A4）+P（A1A2A3

.

A4

）
=

1

5

×

3

5

×

2

5

×

1

5

+

4

5

×

2

5

×

2

5

×

1

5

+

4

5

×

3

5

×

3

5

×

1

5

+

4

5

×

3

5

×

2

5

×

4

5

=

154

625

．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

1

5

×

2

5

×

3

5

×

4

5

=

24

625

，
P（ξ=1）=

154

625

，
P（ξ=2）=

4×3×3×4

625

+

4×2×2×4

625

+

4×2×3×1

625

+

1×3×2×4

625

+

1×3×3×1

625

+

1×2×2×1

625

=

269

625

，
P（ξ=3）=

4×3×2×4

625

+

4×3×3×1

625

+

4×2×2×1

625

+

1×3×2×1

625

=

154

625

，
P（ξ=4）=

4×3×2×1

625

=

24

625

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	24 625	154 625	269 625	154 625	24 625

Eξ=0×

24

625

+1×

154

625

+2×

269

625

+3×

154

625

+4×

24

625

=2．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，歷年高考中都是必考題型之一．