Question

5．已知函數(shù)$f（x）={x^2}-\frac{2}{3}a{x^3}（{a＞0，x∈R}）$
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）若g（x）=f（x）-1有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若對(duì)?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）=1有三個(gè)不同實(shí)根，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（3）通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合集合的包含關(guān)系從而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=2x-2ax²=2x（1-ax）∵a＞0，令f'（x）=0得x=0或$x=\frac{1}{a}$

x	（-∞，0）	0	$（{0，\frac{1}{a}}）$	$\frac{1}{a}$	$（{\frac{1}{a}，+∞}）$
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

∴f（x）減區(qū)間（-∞，0），$（{\frac{1}{a}，+∞}）$
增區(qū)間$（{0，\frac{1}{a}}）$∴x=0時(shí)，f（x）取極小值，且f（0）=0，x=a時(shí)，f（x）取極大值，且$f（{\frac{1}{a}}）=\frac{1}{{3{a^2}}}$．
（2）若g（x）=0有三個(gè)根，即f（x）=1有三個(gè)不同實(shí)根，
由（1）知，$\frac{1}{{3{a^2}}}＞1$得$0＜a＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
則a的取值范圍為$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$．
（3）∵$f（0）=f（{\frac{3}{2a}}）=0$及由（1）知：
當(dāng)$x∈（{0，\frac{3}{2a}}）$時(shí)，f（x）＞0；$x∈（{\frac{3}{2a}，+∞}）$時(shí)，f（x）＜0．
設(shè)集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，$B=\left\{{\frac{1}{f（x）}\left|{x∈（{1，+∞}），f（x）≠0}\right.}\right\}$，
已知“對(duì)?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（1，+∞），使f（x₁）f（x₂）=1”?A⊆B，
若$\frac{3}{2a}＞2$即$0＜a＜\frac{3}{4}$時(shí)，$f（{\frac{3}{2a}}）=0$，∵0∈A，而0∉B，∴不滿足A⊆B；
若$1≤\frac{3}{2a}≤2$即$\frac{3}{4}≤a≤\frac{3}{2}$時(shí)，f（2）≤0，此時(shí)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
故A=（-∞，f（2））⊆（-∞，0），此時(shí)f（1）＞0，∴B?（-∞，0）滿足A⊆B；
若$\frac{3}{2a}＜1$即$a＞\frac{3}{2}$時(shí)，有f（1）＜0，此時(shí)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
故$B=（{\frac{1}{f（1）}，0}）$，A=（-∞，f（2）），∴不滿足A⊆B．
綜上所述，a的取值范圍為$[{\frac{3}{4}，\frac{3}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．