Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側棱PA上的動點．
（I）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）如果E是PA的中點，求證：PC∥平面BDE；
（Ⅲ）探究：不論點E在側棱PA的任何位置，BD⊥CE是否都成立？若成立，證明你的結論；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于PA⊥平面ABCD，利用V_P-ABCD=

1

3

SABCD•PA，可求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）連接AC交BD于O，連接OE，利用三角形中位線的性質，可得PC∥OE，即可證明PC∥平面BDE；
（3）不論點E在何位置，BD⊥CE成立，證明BD⊥平面PAC即可．

解答：（1）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴V_P-ABCD=

1

3

SABCD•PA=

1

3

×12×2=

2

3

   …3分
即四棱錐P-ABCD的體積為

2

3

．…4分
（2）證明：連接AC交BD于O，連接OE．
∵四邊形ABCD是正方形，∴O是AC的中點．
又∵E是PA的中點，∴PC∥OE．…6分
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE
∴PC∥平面BDE．…8分
（3）解：不論點E在何位置，BD⊥CE成立．…9分
證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．
又∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．…10分
∵不論點E在何位置，都有CE?平面PAC．
∴不論點點E在何位置，BD⊥CE成立．…12分．

點評：本題考查四棱錐的體積，考查線面平行，線線垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．