已知橢圓C：
＝1(a>b>0)，點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，直線AB與圓G：
(c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動點，過點P作圓G的兩切線，切點分別為M、N.
(1) 若橢圓C經過兩點
，求橢圓C的方程；
(2) 當c為定值時，求證：直線MN經過一定點E，并求
的值(O是坐標原點)；
(3) 若存在點P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．
(1) 解：令橢圓mx2＋ny2＝1，其中m＝
，n＝
，得
所以m＝
，n＝
，即橢圓方程為
＝1.
(2) 證明：直線AB：
＝1，設點P(x0，y0)，則OP的中點為
，所以點O、M、P、N所在的圓的方程為
，化簡為x2－x0x＋y2－y0y＝0，與圓x2＋y2＝
作差，即直線MN：x0x＋y0y＝.
(3) 解：由直線AB與圓G：x2＋y2＝(c是橢圓的焦半距)相離，則
，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因為0＜e＜1，所以0＜e2＜3－
�、�.連結ON、OM、OP，若存在點P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以
≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因為0＜e＜1，所以
≤e2＜1�、�.
由①②得
.
星級口算天天練系列答案
芒果教輔達標測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1) 若直線l過點A(4，0)，且被圓C1截得的弦長為2
，求直線l的方程；
(2) 設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓
＝1(a>b>0)的左、右焦點，點M在x軸上，且
，過點F2的直線與橢圓交于A、B兩點，且AM⊥x軸，
＝0.
(1) 求橢圓的離心率；
(2) 若△ABF1的周長為4
，求橢圓的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
如圖，正方形ABCD內接于橢圓
＝1(a＞b＞0)，且它的四條邊與坐標軸平行，正方形MNPQ的頂點M、N在橢圓上，頂點P、Q在正方形的邊AB上，且A、M都在第一象限．
(1) 若正方形ABCD的邊長為4，且與y軸交于E、F兩點，正方形MNPQ的邊長為2.
① 求證：直線AM與△ABE的外接圓相切；
② 求橢圓的標準方程；
(2) 設橢圓的離心率為e，直線AM的斜率為k，求證：2e2－k是定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
已知△ABC外接圓半徑R＝
，且∠ABC＝120°，BC＝10，邊BC在x軸上且y軸垂直平分BC邊，則過點A且以B、C為焦點的雙曲線方程為______________．
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＋y2＝1上，頂點A與橢圓的焦點F1重合，且橢圓的另外一個焦點F2在BC邊上，則△ABC的周長是________．
＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則
的最大值為________．
＝1的漸近線方程為________．
＋
＋…＋
(n∈N)，則n＝1時，f(n)＝________.