Question

已知曲線C₁：ρ=2sinθ，曲線（t為參數）
（I）化C₁為直角坐標方程，化C₂為普通方程；
（II）若M為曲線C₂與x軸的交點，N為曲線C₁上一動點，求|MN|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I） 利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得C₁為直角坐標方程；消去參數t得曲線C₂的普通方程．
（II）先在直角坐標系中算出曲線C₂與x軸的交點的坐標，再利用直角坐標中結合圓的幾何性質即可求|MN|的最大值．
解答：解：（I）曲線C₁的極坐標化為ρ²=2ρsinθ
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ
所以曲線C₁的直角坐標方程x²+y²-2y=0
因為曲線C₂的參數方程是，
消去參數t得曲線C₂的普通方程4x+3y-8=0
（II）因為曲線C₂為直線
令y=0，得x=2，即M點的坐標為（2，0）
曲線C₁為圓，其圓心坐標為C₁（0，1），半徑r=1，則
∴，|MN|的最大值為
點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化及參數方程與普通方程的互化，能在直角坐標系中利用圓的幾何性質求出最值，屬于基礎題．