Question

4．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若二次函數(shù)滿足f（-x）=f（x），f（0）=-$\frac{1}{4}$，f（1）=$\frac{3}{4}$且f（cos$\frac{B}{2}$）=0．
（1）求角B的大��；
（2）若△ABC的面積為$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，△ABC的外接圓半徑為$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）=x²-$\frac{1}{4}$，結合$f（cos\frac{B}{2}）$=0，利用降冪公式可求cosB=-$\frac{1}{2}$，結合范圍B∈（0，π），可得B的值．
（2）由已知根據(jù)正弦定理可求b的值，利用三角形面積公式可求ac=15，根據(jù)余弦定理可求a+c=8，即可得解三角形的周長．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由已知易得f（x）=x²-$\frac{1}{4}$，
又$f（cos\frac{B}{2}）$=0，
∴cos²$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{4}$，即$\frac{1+cosB}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$．
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{2π}{3}$．…（6分）
（2）∵△ABC的外接圓半徑為$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴根據(jù)正弦定理$\frac{sinB}$=2R得，$\frac{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，
∴b=7．
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
∴ac=15．
∵在△ABC中，根據(jù)余弦定理得，b²=a²+c²-2accos B，即a²+c²-30cos$\frac{2π}{3}$=49，a²+c²=34，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=64，
∴a+c=8，
∴△ABC的周長等于15．…（12分）

點評 本題主要考查了降冪公式，正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．