Question

已知正項數列{a_n}中，a₁=1，點（

an

，a_n+1）（n∈N⁺）在函數y=x²+1的圖象上，數列{b_n}的前n項和S_n=2-b_n
（1）求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=

-1

an+1log2bn+1

，求數列{c_n}的前n項和T_n
（3）若x²-

x

2

＜c_n對于n∈N⁺恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出{a_n}是以a₁=1為首項，公差d=1的等差數列，由此求出a_n=n．由數列{b_n}的前n項和S_n=2-b_n，推導出{b_n}是以1為首項2為公比的等比數列，從而求出bn=(

1

2

)n-1．
（2）由c_n=

-1

an+1log2bn+1

=

-1

(n+1)log2( 1 2 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和T_n．
（3）x²-

x

2

＜c_n對于n∈N⁺恒成立，只需x2-

x

2

＜（c_n）_min，所以x2-

x

2

＜(cn)min=c1=

1

2

，由此能求出x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵點（

an

，an+1），n∈N^*在函數y=x²+1的圖象上，
∴（

an

，an+1）滿足y=x²+1，an+1=(

an

)2+1=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=1，
又a₁=1，
∴{a_n}是以a₁=1為首項，公差d=1的等差數列，
∴a_n=n．
∵數列{b_n}的前n項和S_n=2-b_n，①
n=1時，b₁=2-b₁，解得b₁=1，
n≥2時，S_n-1=2-b_n-1，②，
①-②，得：b_n=-b_n+b_n-1，
即2b_n=b_n-1，

bn

bn-1

=

1

2

，
∴{b_n}是以1為首項2為公比的等比數列，
∴bn=(

1

2

)n-1．
（2）c_n=

-1

an+1log2bn+1

=

-1

(n+1)log2( 1 2 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）x²-

x

2

＜c_n對于n∈N⁺恒成立，
只需x2-

x

2

＜（c_n）_min，
∵cn=

n

n+1

=

1

1+ 1 n

為增數列，
∴x2-

x

2

＜(cn)min=c1=

1

2

，
整理，得2x²-x-1＜0，
解得-

1

2

＜x＜1，
∴x的取值范圍是（-

1

2

，1）．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．