Question

如圖所示，點(diǎn)F(

p

2

，0)(p＞0)，點(diǎn)P為拋物線C：y²=2px上的動點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離PN滿足：|PF|=|PN|+

1

2

，直線l過點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q（a，0）（a＜0），若直線l垂直于x軸，且向量

QA

和

QB

的夾角為

π

3

，求a的值；
（3）設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線y=x+1距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，又|PF|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-

p

2

的距離，求出P值，最后寫出拋物線的方程即可．
（2）過F的直線l與x軸垂直，不妨設(shè)A(

1

2

，1)，因?yàn)锳，B關(guān)于x軸對稱，結(jié)合向量的夾角，得出向量

QA

與x軸所成的角為

π

6

，從而列出關(guān)于a的等式，即可求得a．
（3）設(shè)直線AB的方程為x=my+

1

2

，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點(diǎn)公式及點(diǎn)到直線的距離公式即可求得m值，從而解決問題．

解答：解：（1）以題意，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，又|PF|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-

p

2

的距離，
所以

p

2

=

1

2

，p=1，所以拋物線的方程為y²=2x．
（2）過F的直線l與x軸垂直，不妨設(shè)A(

1

2

，1)，
因?yàn)锳，B關(guān)于x軸對稱，向量

QA

和

QB

的夾角為

π

3

，則向量

QA

與x軸所成的角為

π

6

，
又知Q（a，0），則

1

1 2 -a

=

3

3

，得a=

1

2

-

3

．
（3）設(shè)直線AB的方程為x=my+

1

2

，代入y²=2x得y²-2my-1=0．
因?yàn)椤?4m²+4＞0恒成立，所以直線x=my+

1

2

與拋物線恒有兩個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m2+

1

2

，m)．
所以點(diǎn)M到直線y=x+1的距離d=

|m2+ 1 2 -m+1|

2

=

(m- 1 2 )2+ 5 4

2

≥

5 2

8

．
當(dāng)且僅當(dāng)m=

1

2

時(shí)取等號．
所以點(diǎn)M到直線y=x+1距離的最小值為

5 2

8

．

點(diǎn)評：本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．