【題目】已知函數(shù)
(1)函數(shù),若是的極值點,求的值并討論的單調(diào)性;
(2)函數(shù)有兩個不同的極值點,其極小值為為,試比較與的大小關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增(2)
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)解出的值,從而確定的表達(dá)式,進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間;(2)對求導(dǎo), 有兩個不同的極值點,即方程在有兩個不同的實根,運用判別式和韋達(dá)定理,可得到,列表求出的單調(diào)區(qū)間和最值,即可得出,再通過構(gòu)造,運用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在單調(diào)遞減,從而得出.
試題解析:(1) ,
,
因為是的極值點,所以,得, ,
此時 , ,
當(dāng)時, ;當(dāng)時, .
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2) ,
,
因為有兩個不同的極值點,所以在有兩個不同的實根,設(shè)此兩根為, ,且.
則,即,解得.
與隨的變化情況如下表:
由表可知 ,
因為,所以代入上式得:
,所以,
因為,且,所以.
令,則,
當(dāng)時, ,即在單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時,有,
即.
點睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用求單調(diào)性和極值,考查函數(shù)的單調(diào)性及運用,極值點的個數(shù)與方程根的關(guān)系,屬于中檔題.極值點的個數(shù)問題經(jīng)常與導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的方程根個數(shù)相互轉(zhuǎn)化,一元二次方程在有兩個不同的實根,等價轉(zhuǎn)化為判別式大于,韋達(dá)定理寫出兩根和與積,分別大于即可.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)在 上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)令,是否存在實數(shù),當(dāng)(是自然對數(shù)的底數(shù))時,函數(shù)的最小值是?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)高二年級開設(shè)五門大學(xué)先修課程,其中屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的有兩門,分別是線性代數(shù)和微積分,其余三門分別為大學(xué)物理,商務(wù)英語以及文學(xué)寫作,年級要求每名學(xué)生只能選修其中一科,該校高二年級600名學(xué)生各科選課人數(shù)統(tǒng)計如下表:
其中選修數(shù)學(xué)學(xué)科的人數(shù)所占頻率為0.6,為了了解學(xué)生成績與選課情況之間的關(guān)系,用分層抽樣的方法從這600名學(xué)生中抽取10人進(jìn)行分析.
(1)求和的取值以及抽取的10人中選修商務(wù)英語的學(xué)生人數(shù);
(2)選出的10名學(xué)生中恰好包含甲乙兩名同學(xué),其中甲同學(xué)選修的是線性代數(shù),乙同學(xué)選修的是大學(xué)物理,現(xiàn)從線性代數(shù)和大學(xué)物理兩個學(xué)科中隨機抽取3人,求這3人中正好有甲乙兩名同學(xué)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長均相等的正四棱錐中, 為底面正方形的重心, 分別為側(cè)棱的中點,有下列結(jié)論:
①平面;②平面平面;③;
④直線與直線所成角的大小為.
其中正確結(jié)論的序號是__________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l過點M(1,0),傾斜角為.
(Ⅰ)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程;
(Ⅱ)若曲線C經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C′,且直線l與曲線C′交于A,B兩點,求|MA|+|MB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點.
.求證:(Ⅰ)PA∥平面BDE;(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE;(III)若PB與底面所成的角為600, AB=2a,求三棱錐E-BCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)證明:對任意的,都有;
(3)設(shè),比較與的大小,并說明理由.
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