Question

如圖，四邊形中，為正三角形，，，與交于點．將沿邊折起，使點至點，已知與平面所成的角為，且點在平面內的射影落在內．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若已知二面角的余弦值為，求的大小.

Answer 1

(Ⅰ)由為的中點，可得，又，所以平面 ；
(Ⅱ).

試題分析：(Ⅰ)易知為的中點，
則，又，
又，平面，
所以平面   （4分）
(Ⅱ)方法一：以為軸，為軸，過垂直于
平面向上的直線為軸建立如圖所示空間

直角坐標系，則,       （6分）
易知平面的法向量為 （7分）
，設平面的法向量為
則由得，
解得，，令，則 （9分）
則
解得，，即，即，
又，∴   故.（12分）   
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，本題利用向量法，簡化了證明過程。折疊問題，要注意折疊前后“變”與“不變”的量。