Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=ax²+x，a∈R．
（1）若函數φ（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是單調增函數，求a的取值范圍；
（2）設函數φ（x）的圖象被點P（2，φ（2））分成的兩部分為C₁，C₂．該函數圖象在點P處的切線為l，且C₁、C₂位于直線l的兩側，試求所有滿足條件的a的值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數φ（x）=f（x）-g（x）的表達式，求函數的導數，利用在其定義域內是單調增函數，等價為φ′（x）≥0，解不等式即可求a的取值范圍；
（2）求出函數的切線方程，集合條件建立方程關系即可得到結論．

解答： 解：（1）因為f（x）=lnx，g（x）=ax²+x，a∈R，
所以φ（x）=f（x）-g（x）=lnx+ax²+x，函數的定義域為（0，+∞），
要使φ（x）在其定義域內是單調增函數，
則φ′（x）≥0恒成立，
即ϕ′(x)=

1

x

-2ax-1=-

2ax2+x-1

x

≥0，（x＞0），
只需要2ax²+x-1≤0，即2a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
所以a≤-

1

8

．
（2）因為ϕ′(x)=

1

x

-2ax-1．
所以切線l的方程為y=(-4a-

1

2

)(x-4)+ln2-4a-2．
令h(x)=lnx-ax2-x-[(-4a-

1

2

)(x-2)+ln2-4a-2]，
則h（2）=0.h′(x)=

1

x

-2ax+4a-

1

2

=-

2ax2-(4a- 1 2 )-1

x

．
若a=0，則h′(x)=

2-x

2x

，
當x∈（0，2）時，h′（x）＞0；
x∈（2，+∞）時，h′（x）＜0，
所以h（x）≤h（2）=0，c₁，c₂在直線同側，l不合題意；
若a≠0，h′=-

2a(x-2)(x+ 1 4a )

x

，
若a=-

1

8

，h′=

( x 2 -1)2

x

≥0，h（x）是單調增函數，
當x∈（2，+∞）時，h（x）＞h（2）=0；
當x∈（0，2）時，h（x）＜h（2）=0，符合題意；
若a＜-

1

8

，當x∈(-

1

4a

，2)時，h′（x）＜0，h′（x）＞h（2）=0，
當x∈（2，+∞）時，h′（x）＞0，h′（x）＞h（2）=0，不合題意； 
若-

1

8

＜a＜0，當x∈(2，-

1

4a

)時，h′（x）＜0，h（x）＜h（2）=0，
當x∈（0，2）時，h′（x）＞0，h（x）＜h（2）=0，不合題意； 
若a＞0，當x∈（0，2）時，h′（x）＞0，h（x）＜h（2）=0，
當x∈（2．+∞）時，h′（x）＜0，h（x）＜h（2）=0，不合題意．
故只有a=-

1

8

符合題意．

點評：本題主要考查導數的應用，根據函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．