Question

【題目】設(shè)拋物線的方程為，其中常數(shù)，F是拋物線的焦點.

（1）設(shè)A是點F關(guān)于頂點O的對稱點，P是拋物線上的動點，求的最大值；

（2）設(shè)，，是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點F的直線，與拋物線交于點A，B，與拋物線交于點C，D，若點G滿足，求點G的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）最大值為；（2）

【解析】

（1）求得A的坐標(biāo)，設(shè)出過A的直線為y＝k（x），k＝tanα，聯(lián)立拋物線方程，運用判別式為0，求得傾斜角，可得所求最大值；

（2）求得F（1，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），設(shè)l1：y＝k（x﹣1），聯(lián)立拋物線方程，運用韋達定理，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，以及消元，可得所求軌跡方程．

（1）A是點關(guān)于頂點O的對稱點，可得，

設(shè)過A的直線為，，

聯(lián)立拋物線方程可得，

由直線和拋物線相切可得，解得，

可取，可得切線的傾斜角為45°，

由拋物線的定義可得，而的最小值為45°，

的最大值為；

（2）由，可得，設(shè)，，，，，

設(shè)，聯(lián)立拋物線，可得，

即有，，

由兩直線垂直的條件，可將k換為，可得，，

點G滿足，可得，

即為，，

可得，則G的軌跡方程為.