Question

16．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，P為△ABC內一點，∠BPA=150°，則$\frac{PA}{PC}$的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖象并求出AC、，∠BAC=30°，設∠PAC=α，∠APC=β，求出∠BAP=30°-α，由∠BPA=150°求出∠ABP，在△ABP和△APC中分別由正弦定理求出PA、PC，代入$\frac{PA}{PC}$化簡后由正弦函數(shù)的最大值求出$\frac{PA}{PC}$的最大值．

解答 解：如圖所示：∵，∠ABC=90°，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2，∠BAC=30°，
設∠PAC=α，∠APC=β，則∠BAP=30°-α，
在△ABP中，∵∠BPA=150°，∴∠ABP=α，
由正弦定理得$\frac{AP}{sin∠ABP}=\frac{AB}{sin∠APB}$，
∴AP=$\frac{AB•sin∠ABP}{sin∠APB}$=$\frac{\sqrt{3}×sinα}{\frac{1}{2}}$=$2\sqrt{3}sinα$，
在△APC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠APC}=\frac{PC}{sin∠PAC}$，
則PC=$\frac{AC•sin∠PAC}{sin∠APC}$=$\frac{2sinα}{sinβ}$，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{2\sqrt{3}sinα}{\frac{2sinα}{sinβ}}$=$\sqrt{3}sinβ$≤$\sqrt{3}$，當β=90°時取等號，
即$\frac{PA}{PC}$的最大值是$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦定理，勾股定理，以及正弦函數(shù)的最大值，注意三角形中角之間的關系．