Question

函數(shù)f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(x＞0，a∈R)．
（1）試求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求證：函數(shù)f（x）的圖象存在唯一零點(diǎn)的充要條件是a=1；
（3）求證：不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

對于x∈（1，2）恒成立．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的定義域是（0，+∞），求出導(dǎo)數(shù)，分a≤0和a＞0兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號，得到單調(diào)區(qū)間．
（2）由函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f（x）的圖象存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（a）=0．
（3）將要證的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為g（x）＞0在區(qū)間（1，2）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最小值，
只要最小值大于0即可．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域是（0，+∞），導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

-

a

x2

，
 若a≤0，導(dǎo)數(shù)f′（x）在（0，+∞）上大于0，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
若a＞0，在（a，+∞）上，導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（a，+∞），
在（a，+∞）上，導(dǎo)數(shù)小于0，單調(diào)減區(qū)間是（0，a）
（2）由第一問知道，當(dāng)a＞0時(shí)候，函數(shù)f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，
所以要使得函數(shù)f（x）的圖象存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（a）=0，即a=1
（3）要證

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

，即證

1

lnx

＜

1

x-1

+

1

2

，即證lnx＞

2x-2

x+1

設(shè)g(x)=lnx-

2x-2

x+1

，∴g′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

＞0，x∈(1，2)恒成立
∴g（x）_min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，即

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)恒成立問題，要證g（x）＞0，只要證g（x）
的最小值大于0．