Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且滿足acosC=2bcosA-ccosA．
（1）求角A的大��；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，c=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可將acosC=2bcosA-ccosA轉化為sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=$\frac{1}{2}$即可
（2）在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bc•cosA⇒8=（b-4）（b+2）=0，解得b=4，即可求得面積．

解答 解：（1）由正弦定理可將acosC=2bcosA-ccosA轉化為sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，
⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=$\frac{1}{2}$
∵0＜A＜π∴A=$\frac{π}{3}$
（2）在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bc•cosA，即12=b²+4-2b→b²-2b
⇒8=（b-4）（b+2）=0，解得b=4，
s_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=2$\sqrt{3}$

點評 本題考查了正余弦定理的應用，屬于中檔題．