Question

已知函數(shù)f（x）=

alnx

x+1

+

b

x

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0，且x≠1時，f（x）＞

lnx

x-1

．

Answer 1

分析：（I）據(jù)切點(diǎn)在切線上，求出切點(diǎn)坐標(biāo)；求出導(dǎo)函數(shù)；利用導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率及切點(diǎn)在曲線上，列出方程組，求出a，b的值．
（II）構(gòu)造新函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，通過研究導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，證得不等式．

解答：解：（I）f′(x)=

a( x+1 x - lnx)

(x+1)2

-

b

x2

．
由于直線x+2y-3=0的斜率為-

1

2

，且過點(diǎn)（1，1）
所以

b=1 a 2 -b

=-

1

2

解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=

lnx

x+1

+

1

x

所以f(x)-

lnx

x-1

=

1

1-x2

(2lnx-

x2-1

x

)
考慮函數(shù)h(x)=2lnx-

x2-1

x

(x＞0)，
則h′(x)=

2

x

-

2x2-(x2-1)

x2

=-

(x-1)2

x2

所以當(dāng)x≠1時，h′（x）＜0而h（1）=0，
當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）＞0可得

1

1-x2

h(x)＞0；
當(dāng)x∈(1，+∞)時，h(x)＜0，可得

1

1-x2

h(x)＞0
從而當(dāng)x＞0且x≠1時，
f(x)-

lnx

x-1

＞0即f(x)＞

lnx

x-1

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義：在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率、考查通過判斷導(dǎo)函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)性；通過求函數(shù)的最值證明不等式恒成立．