Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=4x²+2x+1．
（1）設(shè)g（x）=f（x-1）-2x，求g（x）在[-2，5]上的值域；
（2）設(shè)h（x）=f（x）-mx，在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（3）F（x）=f（x）-2mx在[0，3]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出g（x）=f（x-1）-2x的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：g（x）在[-2，5]上的值域；
（2）求出h（x）=f（x）-mx，若在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間在對(duì)稱軸的一側(cè)，進(jìn)而求得m的取值范圍；
（3）求出F（x）=f（x）-2mx的解析式，分類討論區(qū)間[0，3]與對(duì)稱軸的關(guān)系，可得[0，3]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4x²+2x+1．
∴g（x）=f（x-1）-2x=4（x-1）²+2（x-1）+1-2x=4x²-8x+3．
∵g（x）的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值-1，當(dāng)x=-2或5時(shí)，函數(shù)取最大值63；
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）-mx=4x²+（2-m）x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=

m-2

8

為對(duì)稱軸的拋物線，
若h（x）在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，則

m-2

8

≤2，或

m-2

8

≥4，
解得：m≤18，或m≥34，
（3）∵F（x）=f（x）-2mx=4x²+（2-2m）x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=

m-1

4

為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)

m-1

4

≥3，即m≥13時(shí)，F(xiàn)（x）在[0，3]上為減函數(shù)，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取最小值43-6m，
當(dāng)0＜

m-1

4

＜3，即1＜m＜13時(shí)，F(xiàn)（x）在[0，

m-1

4

]上為減函數(shù)，在[

m-1

4

，3]上為增函數(shù)，
當(dāng)x=

m-1

4

時(shí)，函數(shù)取最小值

-m2+2m+3

4

，
當(dāng)

m-1

4

≤0，即m≤1時(shí)，F(xiàn)（x）在[0，3]上為增函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最小值1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．