是否存在a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=
n(n+1)12
（an2+bn+c）．
分析：首先假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，令n=1，2，3，可求得a、b、c的值，令Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
用數(shù)學(xué)歸納法予以證明即可．
解答：解：假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，
這時令n=1，2，3，有
4=
1
6
(a+b+c)
22=
1
2
(4a+2b+c)
70=9a+3b+c
解得：
a=3
b=11
c=10
．
于是，對n=1，2，3下面等式成立
1•22+2•32+…+n（n+1）2=
n(n+1)
12
(3n2+11n+10)
記Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
證明：①由前面可知，當(dāng)n=1時，等式成立，
②設(shè)n=k時上式成立，即Sk=
k(k+1)
12
（3k2+11k+10）
那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=
k(k+1)
12
（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2
=
(k+1)(k+2)
12
（3k2+5k+12k+24）
=
(k+1)(k+2)
12
[3（k+1）2+11（k+1）+10]
也就是說，等式對n=k+1也成立．
綜上所述，當(dāng)a=3，b=11，c=10時，題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立．
點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，首先要求得a、b、c的值，考查方程思想，其次再用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明時的難點在n=k+1，注意項數(shù)的變化與理解，屬于難題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點個數(shù)；
（2）若對?x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），試證明?x0∈（x1，x2），使f(x0)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件①對?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對?x∈R，都有0≤f(x)-x≤
1
2
(x-1)2．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點個數(shù)；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對任意x∈R，都有0≤f(x)-x≤
12
(x-1)2，若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點個數(shù)；
（2）若對x1x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），證明方程f（x）=
1
2
[f(x1)+f(x2)]必有一個實數(shù)根屬于（x1，x2）．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件
①當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）有最小值0；
②對任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤
(x-1)2
2
若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點個數(shù)；
（2）若對任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），試證明：
1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：
①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②對任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點的個數(shù)；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：
①對任意x∈R，f（-1+x）=f（-1-x），且f（x）≥0；
②對任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
（x-1）2．若存在，求出a，b，c的值；若不存在，請說明理由．
（3）若對任意x1、x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），試證明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=
1
2
[f（x1）+f（x2）]成立．

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