Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為9ρ²cos²θ+16ρ²sin²θ=144，且直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l恒過的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若|AP|•|AQ|=9，求直線l的普通方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，由直線l的參數(shù)方程能求出直線l恒過的定點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（Ⅱ）把直線l的方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中，得：（9+7sin²α）t²+36tcosα-9×12=0．由t的幾何意義知|AP|=|t₁|，|AQ|=|t₂|，點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，這個(gè)方程必有兩個(gè)實(shí)根，從而得到|$\frac{-36×3}{9+7si{n}^{2}α}$|=9，進(jìn)而求出tan$α=±\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為9ρ²cos²θ+16ρ²sin²θ=144，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l恒過定點(diǎn)為A（2，0）．
（Ⅱ）把直線l的方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中，
整理，得：（9+7sin²α）t²+36tcosα-9×12=0．
由t的幾何意義知|AP|=|t₁|，|AQ|=|t₂|，
∵點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，這個(gè)方程必有兩個(gè)實(shí)根，
∴t₁t₂=$\frac{-36×3}{9+7si{n}^{2}α}$，∵|AP|•|AQ|=|t₁t₂|=9，即|$\frac{-36×3}{9+7si{n}^{2}α}$|=9，
∴$si{n}^{2}α=\frac{3}{7}$，∵α∈（0，π），∴tan$α=±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直線l的方程為y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}（x-2）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程和直線恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查直線方程的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．