Question

已知函數(shù)f(x)=

-x3+1，x∈(-∞，-1] 1-x，，x∈(-1，+∞)

，若f（6-a²）＞f（a）則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，-3）∪（2，+∞）

B．（-∞，-2）∪（3，+∞）

C．（-3，2）

D．（-2，3）

Answer 1

分析：由分段函數(shù)在x小于等于-1和x大于-1時(shí)的函數(shù)關(guān)系式都為減函數(shù)，且兩函數(shù)解析式在x=-1時(shí)的函數(shù)值相等，故f（x）在R上連續(xù)，從而得到f（x）在R上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)的性質(zhì)，由f（6-a²）＞f（a）可得6-a²＜a，進(jìn)而求出a的范圍．

解答：解：∵x∈（-∞，-1]時(shí)，f（x）=-x³+1為減函數(shù)，f（-1）=2；
x∈（-1，+∞）時(shí)，f（x）=1-x也為減函數(shù)，f（-1）=2，
∴f（x）在R上連續(xù)，且單調(diào)遞減，
由f（6-a²）＞f（a），得到6-a²＜a，即a²+a-6＞0，
分解因式得：（a-2）（a+3）＞0，
可化為：

a-2＞0 a+3＞0

或

a-2＜0 a+3＜0

，
解得：a＞2或a＜-3，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）∪（2，+∞）．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了其他不等式的解法，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，其中利用分段函數(shù)在x≤-1和x＞-1所對(duì)應(yīng)的解析式都為減函數(shù)且f（x）在R上連續(xù)得出f（x）在R上單調(diào)遞減是解本題的關(guān)鍵．