Question

（2011•西安模擬）在正項等差數(shù)列{a_n}中，對任意的n∈N^*都有a1+a2+…+an=

1

2

anan+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}滿足bn=2an，其前n項和為S_n，求證；對任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均為定植．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在正項等差數(shù)列{a_n}中，對任意的n∈N^*都有a1+a2+…+an=

1

2

anan+1，令n=1，得a₂=2．令n=2，得d=1．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由a_n=n，bn=2an=2ⁿ，知S_n=2+2²+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．故S_n-b_n+1=（2ⁿ⁺¹-2）-2ⁿ⁺¹=-2，由此能夠證明對任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均為定值-2．

解答：（Ⅰ）解：在正項等差數(shù)列{a_n}中，
對任意的n∈N^*都有a1+a2+…+an=

1

2

anan+1，
令n=1，得a1=

1

2

a1a2，
∵a₁＞0，
∴a₂=2．
令n=2，得a1+a2=

1

2

a2a3，
即a₁+2=a₃=a₁+2d，
故d=1．
∴a_n=2+（n-2）×1=n．
（Ⅱ）證明：∵a_n=n，bn=2an=2ⁿ，
∴S_n=2+2²+…+2ⁿ
=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．
故S_n-b_n+1=（2ⁿ⁺¹-2）-2ⁿ⁺¹=-2，
∴對任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均為定值-2．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和證明對任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均為定值．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．