Question

已知數(shù)列中，，對任意的，、、成等比數(shù)列，公比為；、、成等差數(shù)列，公差為，且．
（1）寫出數(shù)列的前四項；
（2）設，求數(shù)列的通項公式；
（3）求數(shù)列的前項和．

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）時，，時，.

解析試題分析：（1）求數(shù)列的前4項，相對較容易，由題意可得成等比數(shù)列，而，要求得，對應再求得；（2）要求，實質上就是求，我們應求出的遞推關系，從而求出通項，由題意，，而，這樣就有，于是關于的遞推關系就有了：，把它變形或用代入就可得到結論；（3）由（2）我們求出了，下面為了求，我們要把數(shù)列從前到后建立一個關系，分析已知，發(fā)現(xiàn)，這樣就由而求出，于是，，得到數(shù)列的通項公式后，其前項和也就可求得了. 另外由于第（1）題中已知求出的數(shù)列的前4項（我們還可再求出接下來的一些項，增強想象），然后用猜想的方法猜測出其通項公式（），再數(shù)學歸納法證明之. 
試題解析：（1）由題意得
，，或.               2分
故數(shù)列的前四項為或.                   4分
（2）∵成公比為的等比數(shù)列，
成公比為的等比數(shù)列
∴，
又∵成等差數(shù)列，
∴.
得，，           6分
，
∴，，即.
∴ 數(shù)列數(shù)列為公差等差數(shù)列，且或.    8分
∴或.               10分
（3）當時，由（2）得.
，，
，
.                 13分
當時，同理可得，.   &nb