Question

8．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A、B外的一個動點(diǎn)，DC垂直于半圓O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（Ⅰ）證明：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅱ）若AC=BC，求二面角D-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB是直徑，可得BC⊥AC，再由CD⊥平面ABC，得CD⊥BC，由線面垂直的判定可得BC⊥平面ACD，結(jié)合面面垂直的判定得平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出D，E，A的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得面DAE的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，0，2\sqrt{2}）$，由題意可知平面ABE的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=\overrightarrow{CO}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，求出兩法向量所成角的余弦值，得到二面角D-AE-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB是直徑，∴BC⊥AC，
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC，
∵AC∩CD=C，∴BC⊥平面ACD．
∵CD∥BE，CD=BE，∴四邊形BCDE是平行四邊形，
則BC∥DE，∴DE⊥平面ACD．
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅱ）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，1），E（0，$2\sqrt{2}$，1），A（$2\sqrt{2}$，0，0），
則$\overrightarrow{DE}=（0，2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{DA}=（2\sqrt{2}，0，-1）$，
設(shè)面DAE的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DA}=2\sqrt{2}x-z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，0，2\sqrt{2}）$，
由題意可知平面ABE的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=\overrightarrow{CO}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{\sqrt{2}}{2×3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．
可以判斷＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞與二面角D-AE-B的平面角互補(bǔ)，
∴二面角D-AE-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的大小，是中檔題．