Question

20．已知函數f（x）=ax²-2x+1．
（1）當a≠0，試討論函數f（x）的單調性；
（2）若$\frac{1}{3}$≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=Mx（a）-N（a），求g（a）的表達式；
（3）在（2）的條件下，求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的對稱軸，討論f（x）的開口方向，利用函數圖象得出單調區(qū)間；
（2）討論對稱軸與區(qū)間[1，3]的關系，計算f（x）的最值，從而得出g（a）的表達式；
（3）判斷g（a）的單調性，得出最小值．

解答 解：f（x）的對稱軸為直線x=$\frac{1}{a}$，
（1）若a＞0，則f（x）的圖象開口向上，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調遞增；
若a＜0，則f（x）的圖象開口向下，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）上單調遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調遞減；
（2）∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴$\frac{1}{a}$∈[1，3]．
∴f（x）的最小值為N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
當2≤$\frac{1}{a}$≤3時，即$\frac{1}{3}≤$a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）的最大值M（a）=f（1）=a-1；
當1≤$\frac{1}{a}$＜2時，即$\frac{1}{2}$＜a≤1時，f（x）有最大值M（a）=f（3）=9a-5；
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-2+\frac{1}{a}，\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}}\\{9a-6+\frac{1}{a}，\frac{1}{2}＜a≤1}\end{array}\right.$．
（3）當$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{1}{2}$時，則g′（a）=1-$\frac{1}{{a}^{2}}$＜0，
∴g（a）在[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上是減函數．
當$\frac{1}{2}$＜a≤1時，則g′（a）=9-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，
∴g（a）在（$\frac{1}{2}$，1]上是增函數．
∴當a=$\frac{1}{2}$時，g（a）取得最小值g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了二次函數的單調性，最值計算，分類討論思想，屬于中檔題．