Question

已知直線L：x+y-9=0和圓M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，點(diǎn)A在直線L上，B，C為圓M上的兩點(diǎn)，在△ABC中，∠BAC=45°，AB過圓心M，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)取值范圍為（　　）

• A、[0，3]
• B、[3，6]
• C、（0，3]
• D、（3，6）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)A（a，9-a），①當(dāng)a≠2時(shí)，把∠BAC看作AB到AC的角，又點(diǎn)C在圓M，由圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，求出a的范圍；②當(dāng)a=2時(shí)，則A（2，7）與直線x=2成45°角的直線有x-y+5=0，或x+y-9=0，判斷這樣點(diǎn)C不在圓M上不成立．

解答： 解：圓M：2x²+2y²-8x-8y-1=0方程可化為（x-2）²+（y-2）²=（

34

2

）²，
設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則縱坐標(biāo)為9-a；
①當(dāng)a≠2時(shí)，k_AB=

7-a

a-2

，設(shè)AC的斜率為k，把∠BAC看作AB到AC的角，則可得k=

5

2a-9

，
直線AC的方程為y-（9-a）=

5

2a-9

（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a²+22a-81=0，
又點(diǎn)C在圓M上，所以只需圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，即

|10-2(2a-9)-2a2+22a-81|

25+(2a-9)2

≤

34

2

，
化簡得a²-9a+18≤0，解得3≤a≤6；
②當(dāng)a=2時(shí)，則A（2，7）與直線x=2成45°角的直線為x-y+5=0，或x+y-9=0
M到x-y+5=0的距離d=

|2-2+5|

2

=

5 2

2

＞

34

2

，這樣點(diǎn)C不在圓M上，
同理x+y-9=0，顯然也不滿足條件，
綜上：A點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍為[3，6]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及方程的應(yīng)用，考查直線中的到角公式，點(diǎn)到直線的距離，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．