Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：（1）a₁=3；（2）a_n+1=2n²-n（3a_n-1）+a_n²+2（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）猜測數(shù)列{a_n}的通項，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）試比較a_n與2ⁿ的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）a₂=5，a₃=7，a₄=9；（3分）
（Ⅱ）猜測a_n=2n+1，（1分）
證明如下：
當n=1時，a₁=3=2×1+1，結(jié)論成立；（1分）
若n=k時，結(jié)論成立，即a_k=2k+1，
則n=k+1時，
a_k+1=2k²-k（3a_k-1）+a_k²+2=2k²-k（6k+2）+（2k+1）²+2=2k+3，（2分）
于是n=k+1時，結(jié)論成立．
故對所有的正整數(shù)n，a_n=2n+1．（1分）
（Ⅲ）當n=1時，a₁=3＞2ⁿ；
當n=2n=2時，a₂=5＞2²；
當n=3時，a₃=7＜2³；
當n=4時，a₄=9＜2⁴；（1分）
猜想n≥3（n∈N*）時，a_n＜2ⁿ．（1分）
證明如下：
當n=3時，a₃=7＜3³，結(jié)論成立；（1分）
若n=k時，結(jié)論成立，即a_k＜2^k，（k≥3），也就是2k+1＜2^k，
則n=k+1時，
a_k+1=2k+3=（2k+1）+2＜2^k+2，
而（2^k+2）-2^k+1=2-2^k＜0?2^k+2＜2^k+1，（2分）
∴a_k+1＜2^k+1．
于是n=k+1時，結(jié)論成立．
從而對任意n≥3（n∈N*），有a_n＜2ⁿ．
綜上所述，當n=1，2時，a_n＞2ⁿ；當n≥3時，a_n＜2ⁿ．（1分）
分析：（Ⅰ）把n=1，2，3分別代入a_n+1=2n²-n（3a_n-1）+a_n²+2（n∈N*），得a₂=5，a₃=7，a₄=9．
（Ⅱ）猜測a_n=2n+1，然后用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．
（Ⅲ）當n=1時，a₁=3＞2ⁿ；當n=2n=2時，a₂=5＞2²；當n=3時，a₃=7＜2³；當n=4時，a₄=9＜2⁴．猜想n≥3（n∈N*）時，a_n＜2ⁿ．然后用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．
點評：本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．