Question

設函數f（x）的定義域為（0，+∞），當x∈（0，+∞）時，恒有f（f（x））=2x，且過f（x）圖象上，任意兩點的直線的斜率都大于1，
求證：（1）f（x）為增函數；
（2）f（x）＞x；
（3）

4

3

＜

f(x)

x

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）在區(qū)間（0，+∞），任取x₁＞x₂，根據f（x）圖象上任意兩點的直線的斜率都大于1，我們可以得到f（x₁）＞f（x₂），進而根據函數單調性的定義，得到f（x）為增函數；
（2）由已知中函數f（x）的定義域為（0，+∞），當x∈（0，+∞）時，恒有f（f（x））=2x，分別討論f（x）=x，f（x）＜x，是否符合題目要求，進而可得f（x）＞x恒成立；
（3）由已知中當x∈（0，+∞）時，恒有f（f（x））=2x，及f（x）圖象上任意兩點的直線的斜率都大于1，取（x，f（x））點和（f（x），f[f（x）]）點，可得

f(x)

x

＜

3

2

，�。╢（x），f[f（x）]）點和（f[f（x）]，f{f[f（x）]}）點，可得

f(x)

x

＞

4

3

，進而得到結論．

解答：證明：（1）設x₁＞x₂＞0
∴k=

f(x 1)-f(x2)

x1-x2

＞1∴f(x1)＞f(x2)
∴f（x）為增函數
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當x∈（0，+∞）時，恒有f（f（x）=2x
∴f（x）＞0
若f（x）=x，則f（f（x））=f（x）=2x=x不符合要求
若f（x）＜x，則f[f（x）]＜f（x）得2x＜x
∴x＜0不符合題意要求
∴f（x）＞x
（3）∵過f（x）圖象上任意兩點的直線的斜率都大于1
∴

f[f(x)]-f(x)

f(x)-x

＞1
∴2x-f(x)＞f(x)-x∴

f(x)

x

＜

3

2

；
∵過f（x）圖象上任意兩點的直線的斜率都大于1
∴

f{f[f(x)]}-f[f(x)]

f[f(x)]-f(x)

＞1
∴

2f(x)-2x

2x-f(x)

＞1∴2f(x)-2x＞2x-f(x)∴

f(x)

x

＞

4

3

綜上，

4

3

＜

f(x)

x

＜

3

2

．

點評：本題考查的知識點是函數的單調性，窮舉法證明，抽象函數的值域，其中（1）中根據已知選取作商法比較簡便，（2）中要用窮舉法分別討論f（x）=x，f（x）＜x，是否符合題目要求，而（3）的關鍵是利用抽象函數解答中“湊”的思想．