已知橢圓及圓的方程分別為
x2
a2
+
y2
b2
=1和x2+y2=r2，若直線AB與圓相切于點A，與橢圓有唯一的公共點B，若a＞b＞0是常數(shù)，試寫出AB長度隨動圓半徑變化的函數(shù)關(guān)系式|AB|=f（x），并求其最大值．
分析：先設(shè)A（x0，y0），則過A的圓的切線方程為x0x+y0y=r2，將其與橢圓方程聯(lián)立，得一一元二次方程，由△=0，整理后即可得|AB|=f（r），求f（x）最大值時使用均值定理，注意等號成立的條件．
解答：解：設(shè)A（x0，y0），則過A的圓的切線方程為x0x+y0y=r2，代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，得
（b2+
a2 x02
y02
）x2-
2a2r2x0
y02
x+
a2r4
y02
-a2b2=0
由△=0得（x-x0）2+（y-y0）2=a2+b2-
a2b2
r2
-x2
∴
f(x)=
a2+b2-
a2b2
x2
-x2
，a＜x＜b

∵
a2b2
x2
+x2≥2
a2b2
x2
•x2
=2ab
∴f（x）≤
a2+b2-2ab
=a-b
（當(dāng)且僅當(dāng)x=
ab
時取等號）
∴
f(x)=
a2+b2-
a2b2
x2
-x2
，a＜x＜b

f（x）的最大值為a-b
點評：本題考查了圓與橢圓的關(guān)系，直線與曲線相切的關(guān)系，有一定的運算量，解題時要耐心細(xì)致
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C中心在坐標(biāo)原點O焦點在x上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C左、右焦點，M橢圓短軸的一個端點，過F1的直線l橢圓交于A、B兩點，△MF1F2的面積為4，△ABF2的周長為8
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點Q的坐標(biāo)為（1，0）存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF1，PF2都相切．若存在，求出點P坐標(biāo)及圓的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年安徽省江南十校高三素質(zhì)教育聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知焦點在X軸上的橢圓C為.，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C的左、右焦點，離心率e=.

(I )求橢圓C的方程；

(II) 設(shè)點Q的坐標(biāo)為（1，0)，橢圓上是否存在一點P，使得直線都與以Q為圓心的一個圓相切，如存在，求出P點坐標(biāo)及圓的方程，如不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江西省高三12月周考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在圓點，焦點在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F1的直線與橢圓交于A，B兩點，的面積為4，的周長為（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)點Q的坐標(biāo)為（1，0），是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF1，PF2都相切，若存在，求出P點坐標(biāo)及圓的方程；若不存在，請說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年吉林省高三下學(xué)期期初考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓過點，左、右焦點分別為，離心率為，經(jīng)過的直線與圓心在軸上且經(jīng)過點的圓恰好相切于點．

（1）求橢圓及圓的方程；

（2） 在直線上是否存在一點，使為以為底邊的等腰三角形？若存在，求點的坐標(biāo)，否則說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年吉林省高三下學(xué)期期初考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓過點，左、右焦點分別為，離心率為，經(jīng)過的直線與圓心在軸上且經(jīng)過點的圓恰好相切于點．

（1）求橢圓及圓的方程；

（2） 在直線上是否存在一點，使為以為底邊的等腰三角形？若存在，求點的坐標(biāo)，否則說明理由．

 

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