Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一動圓經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）且與直線x=-$\frac{1}{2}$相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡方程為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是曲線E上的動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x₀，點(diǎn)B，C在y軸上，△PBC的內(nèi)切圓的方程為（x-1）²+y²=1，將|BC|表示成x₀的函數(shù)，并求△PBC面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義，即可求得曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c）不妨設(shè)b＞c，直線PB的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，由直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，結(jié)合韋達(dá)定理，以及三角形的面積公式，運(yùn)用基本不等式即可求得最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知圓心到（$\frac{1}{2}$，0）的距離等于直線x=-$\frac{1}{2}$的距離，
由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以（$\frac{1}{2}$，0）為焦點(diǎn)，以x=-$\frac{1}{2}$為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)拋物線方程y²=2px，則$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，則p=1，
∴曲線E的方程為y²=2x；．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c）
直線PB的方程為：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
又圓心（1，0）到PB的距離為1，則$\frac{丨{y}_{0}-b+{x}_{0}b丨}{\sqrt{（{y}_{0}-b）^{2}+{x}_{0}^{2}}}$=1．
整理得：（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得：（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
∴b，c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0，的兩根，
∴b+c=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，bc=-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
依題意bc＜0，即x₀＞2，
則（b-c）²=（b+c）²-4bc=$\frac{4{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}-8{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$．
由y₀²=2x₀，則丨BC丨=丨b-c丨=$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，（x₀＞2）．
∴S=$\frac{1}{2}$丨BC丨x₀=（x₀-2）+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥8．
當(dāng)（x₀-2）=$\frac{4}{{x}_{0}-2}$，即x₀=4時(shí)上式取得等號，
∴△PBC面積的最小值為8．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，直線和圓相切的條件：d=r，以及基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．