Question

正方形ABCD，沿對角線BD折成直二面角后不會成立的結論是（　�。�

A．AC⊥BD

B．△ADC為等邊三角形

C．AB、CD所成角為60°

D．AB與平面BCD所成角為60°

Answer 1

分析：根據(jù)已知中正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，我們以O點為坐標原點建立空間坐標系，求出ABCD各點坐標后，進而可以求出相關直線的方向向量及平面的法向量，然后代入線線夾角，線面夾角公式，及模長公式，分別計算即可得到答案．

解答：解：連接AC與BD交于O點，對折后如圖所示，令OC=1
則O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
C（0，0，1），D（0，-1，0）
則

AC

=（-1，0，1），

BD

=（0，-2，0），
∵

AC

•

BD

=0，∴AC⊥BD，故A正確；
∵|

AC

|=|

AD

|=|

CD

|=2，∴△ADC為等邊三角形，故B正確；
∵

AB

=（-1，1，0），

CD

=（0，-1，-1），
∴|cos＜

AB

，

CD

＞|=|

-1

2 • 2

|=

1

2

，∴AB與CD所成角為60°，故C正確；
∵

OA

為平面BCD的一個法向量，根據(jù)正方形的性質，得AB與平面BCD所成角為45°，故D錯誤．
故選D．

點評：本題以平面圖形的翻折為載體，考查空間中直線與平面之間的位置關系，根據(jù)已知條件構造空間坐標系，將空間線線夾角，線面夾角轉化為向量的夾角問題是解題的關鍵．