Question

（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA ="AB=BC" =2，AD =1．M是棱SB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，MN與面SAB所成的角為，求sin的最大值，

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.
（Ⅲ）時(shí)，.

試題分析：（Ⅰ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則
， ，，，，.
則.
設(shè)平面SCD的法向量是則
即
令，則，于是.
，.
 AM∥平面SCD. …………………………（4分）
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量為.設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為，
則，即.
平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.………………………（8分）
（Ⅲ）設(shè)，則.
又，面SAB的法向量為，
所以，.
.
當(dāng)，即時(shí)，.…………………………（12分）
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明及角的計(jì)算問題是高考中的必考題，通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可使問題簡(jiǎn)化。