Question

已知函數(shù)y=

3-x

+log₂（x+1）的定義域為M，函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1（x∈M）．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）當x∈M時，若關(guān)于x的方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有實數(shù)根，求b的取值范圍，并討論實數(shù)根的個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)y=

3-x

+log₂（x+1），可得

3-x≥0 x+1＞0

，由此求得x的范圍，可得函數(shù)y的定義域M．
（Ⅱ）令2^x=t，則t∈（

1

2

，8]，f（x）=g（t）=t²-2t=（t-1）²-1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（x）的值域．
（Ⅲ）由題意可得函數(shù)y=t²-2t 的圖象和直線y=b在（-1，3]上有交點，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=

3-x

+log₂（x+1），∴

3-x≥0 x+1＞0

，
求得-1＜x≤3，故函數(shù)y的定義域M=（-1，3]．
（Ⅱ）對于函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1（x∈M），令2^x=t，
則t∈（

1

2

，8]，f（x）=g（t）=t²-2t=（t-1）²-1，
故當t=1時，f（x）取得最小值為-1，當t=3時，
f（x）取得最大值為3，故函數(shù)f（x）的值域為[-1，3]．
（Ⅲ）當x∈M時，關(guān)于x的方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有實數(shù)根，
則函數(shù)y=t²-2t 的圖象和直線y=b在（-1，3]上有交點，
如圖所示，
故要求的b的取值范圍為[-1，3]，且當b=-1或 b=3時，
方程有一個實數(shù)根，
當-1＜b＜3時，方程有2個實數(shù)根．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．