Question

若f（x）為定義在R上的奇函數，g（x）為定義在R上的偶函數，且f（x）+g（x）=2^x，求f（x）和g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：根據已知中定義在R上的偶函數f（x）和奇函數g（x）滿足f（x）+g（x）=2^x，根據奇函數和偶函數的性質，我們易得到關于f（x）、g（x）的另一個方程：f（-x）+g（-x）=2^-x，解方程組即可得到g（x）的解析式．
解答：解：∵f（x）為定義在R上的偶函數
∴f（-x）=f（x）
又∵g（x）為定義在R上的奇函數
g（-x）=-g（x）
由f（x）+g（x）=2^x，
∴f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=2^-x，
∴g（x）=（2^x-2^-x）
f（x）=（2^x+2^-x）．
點評：本題考查的知識點是函數解析式的求法--方程組法，及函數奇偶性的性質，其中根據函數奇偶性的定義構造出關于關于f（x）、g（x）的另一個方程：f（-x）+g（-x）=2^-x，是解答本題的關鍵．